1
PRINSIP MAKSIMUM DAN MINIMUM
FUNGSI PANHARMONIK
Oleh,
Endang Cahya M.A.
Jurusan Pendidikan Matematika
FPMIPA UPI Bandung
Jl. Dr. Setiabudi 229 Bandung
E-mail ecma@dns.math.itb.ac.id
Abstrak
Tulisan ini menjelaskan prinsip maksimum dan minimum fungsi panharmonik
baik yang bernilai real maupun yang bernilai kompleks. Metoda pembuktian yang
digunakan adalah perhitungan kalkulus biasa untuk fungsi dua peubah. Sedangkan untuk
fungsi panharmonik bernilai kompleks digunakan prinsip rotasi.
1. Pendahuluan
Sebuah fungsi u = u(x,y)di C2( ) disebut fungsi panharmonik jika u
memenuhi persamaan Yukawa
u
x
u
x
u 2
2
2
2
2
(1)
untuk suatu konstanta real dan himpunan buka di 2. Fungsi panharmonik u disebut
panharmonik pada himpunan tutup jika u panharmonik pada interiornya dan kontinu pada
batasnya.
Makalah ini memberikan bukti baru terhadap beberapa hasil survey yang ada pada
literatur dan juga memberikan beberapa hasil yang baru. Pendekatan yang digunakan
disini serupa dengan pendekatan yang dikembangkan atau digunakan untuk fungsi
harmonik. Hal ini dilakukan hanya karena ada kemiripan bentuk antara persamaan
Laplace dan persamaan Yukawa.
Kajian pertama diawali dengan fakta perhitungan nilai maksimum dan minimum
fungsi panharmonik pada suatu cakram, yang selanjutnya akan digunakan sebagai
langkah awal dugaan umum mengenai prinsip maksimum dan minimum fungsi
panharmonik. Berikutnya juga dibahas mengenai nilai maksimum modulus fungsi
panharmonik bernilai kompleks.
2
2. Prinsip Maksimum dan Minimum Fungsi Panharmonik
Untuk mengkaji masalah nilai maksimum dan minimum fungsi panharmonik,
marilah kita lihat gagasan yang muncul dari fakta berikut. Berikut ini teorema dari
Duffin, untuk bukti lihat [2], hal 115.
Teorema 1 Jika u(r, ) fungsi panharmonik pada cakram x2 + y2 a, maka untuk 0 r
a,
in
n
n
n u(r, ) c I ( r)e (2)
dimana
2
0
( , ) .
2 ( )
1
u a e d
I a
c in
n
n
Di sini In merupakan fungsi Bessel termodifikasi jenis pertama, dengan
( ),
! 2
1
( ) x
x
n
I x n
n
n (3)
dan
...
1.2( 1)( 2)
2
1.( 1)
2
( ) 1
2 4
n n
x
n
x
x n (4)
Dapat ditunjukan bahwa untuk masing-masing n, in
n I ( r)e merupakan solusi
persamaan (1) dan secara khusus, ( ) 0 r merupakan solusi positif dari persamaan (1).
Dari teorema diatas, mari kita tinjau jika nilai batas u konstan, sebut saja u(a, ) = k,
untuk suatu konstanta real k. Maka masing-masing koefisien cn akan menjadi
0 , 0
, 0
( ) 0
n
n
a
k
cn
dan
( ).
( )
( , ) 0
0
I r
a
k
u r (5)
Melalui persamaan (5) ini, kita tinjau dua kasus. Pertama, jika k > 0, maka
u(r, ) > 0. Untuk setiap dan r, dengan 0 r a. Nilai maksimum u akan dicapai
jika r = a, yaitu u(r, ) = k dan nilai minimum akan dicapai jika r = 0. Ini mengatakan
3
bahwa nilai minimum u terjadi tidak di batas cakram dan nilai maksimum terjadi di batas
cakram. Kasus kedua, jika k < 0 maka u(r, ) < 0 untuk setiap dan r, dengan 0 r a.
Nilai minimum u akan dicapai di batas cakram yaitu r = a dan nilai maksimum dicapai di
pusat cakram. Ini mengatakan bahwa nilai minimum u terjadi di batas cakram dan nilai
maksimum tidak tejadi di batas.
Dari kedua kasus ini, dugaan mengenai tempat terjadinya nilai maksimum dan
nilai minimum untuk fungsi panharmonik berbeda dengan tempat terjadinya nilai
maksimum dan nilai minimum untuk fungsi harmonik.
2.1. Prinsip Maksimum
Hasil pertama yang diperoleh dari gambaran di atas diformulasikan dalam
teorema berikut.
Teorema 2 Misalkan himpunan buka terhubung sederhana, dan u fungsi
panharmonik pada . Jika nilai maksimum u positif maka nilai maksimum tersebut
akan dicapai di batas .
Bukti Andaikan ada x di dalam sehingga u(x) 0,u (x)u (x) u (x) 0, xx yy xy dan
u x Maka xx ( ) 0. u (x)u (x) u (x) 0, xx yy xy tetapi u (x) 0 xx akibatnya haruslah
u (x) 0 yy . Karena itu, u(x) 0. Ini bertentangan dengan yang diketahui. Dengan
demikian dapat disimpulkan, tidak ada x dalam yang memberikan nilai maksimum,
karena itu haruslah x ada di batas .
Teorema di atas memberikan akibat untuk fungsi panharmonik positif.
Akibat 1 Misalkan u fungsi panharmonik positif pada , maka nilai maksimum u
dicapai di batas .
Bukti Karena u panharmonik positif maka nilai maksimum u juga positif. Berdasarkan
Teorema 2 maka nilai maksimum u terjadi di batas .
Akibat 2 Misalkan u fungsi panharmonik tak negatif pada suatu himpunan buka
terhubung sederhana . Jika u mencapai nilai maksimum di dalam , maka haruslah
u fungsi konstan. (dalam hal ini haruslah u fungsi nol).
Bukti Lihat [1] dan [3].
4
Selanjutnya, akan dilihat fungsi panharmonik tak negatif pada suatu himpunan buka
terhubung sederhana dan terbatas di 2, dan mungkin fungsi tersebut tidak kontinu pada
batasnya.
Akibat 3 Misalkan himpunan buka terhubung sederhana dan terbatas di 2.
Misalkan u fungsi panharmonik tak negatif pada , dan misalkan ada konstnta M > 0
sehingga
u b M k
k
limsup ( )
untuk setiap barisan (bk) di yang konvergen ke suatu titik di batas . Maka u < M
pada .
Bukti Misalkan M’ = sup{u(x):x }, dan pilih barisan (bk) di sehingga u(bk)
konvergen ke M’. Dari sini, ada dua kasus yang perlu diperhatikan. Pertama, jika (bk)
memiliki subbarisan yang konvergen ke suatu titik b di dalam , maka u(b) = M’.
Dengan prinsip maksimum fungsi panharmonik tak negatif, maka u = M’ pada . Untuk
kasus kedua, jika tidak ada subbarisan dari (bk) yang konvergen kesuatu titik di dalam
maka (bk) memiliki subbarisan (ak) yang konvergen ke suatu titik pada batas , sebut
saja titik tersebut a, maka u(a) = M’. Ini mengakibatkan u M’. Dengan demikian , dari
kedua kasus ini, kita peroleh u < M pada .
2.2 Prinsip Minimum
Prinsip maksimum di atas, cenderung lebih tepat bila digunakan pada fungsi
panharmonik positif, akan tetapi prinsip inipun akan berimplikasi juga untuk fungsi
panharmonik negatif.
Teorema 3 Misalkan himpunan buka terhubung sederhana, dan u fungsi
panharmonik pada . Jika nilai minimum u negatif maka nilai minimum tersebut akan
dicapai di batas .
Bukti Andaikan ada x di dalam sehingga u(x) 0,u (x)u (x) u (x) 0, xx yy xy dan
u x Maka xx ( ) 0. u (x)u (x) u (x) 0, xx yy xy tetapi u (x) 0 xx akibatnya haruslah
u (x) 0 yy . Karena itu, u(x) 0. Ini bertentangan dengan yang diketahui. Dengan
demikian dapat disimpulkan, tidak ada x dalam yang memberikan nilai minimum
negatif, karena itu haruslah x ada di batas .
Akibat 4 Misalkan u fungsi panharmonik negatif pada , maka nilai maksimum u
dicapai di batas .
Bukti Karena u panharmonik negatif maka nilai minimum u juga negatif. Berdasarkan
Teorema 3 maka nilai minimum u terjadi di batas .
5
Akibat 5 Misalkan u fungsi panharmonik tak positif pada suatu himpunan buka
terhubung sederhana . Jika u mencapai nilai minimum di dalam , maka haruslah u
fungsi konstan. (dalam hal ini haruslah u fungsi nol).
Bukti Lihat [1] dan [3].
Selanjutnya, akan dilihat fungsi panharmonik tak positif pada suatu himpunan buka
terhubung sederhana dan terbatas di 2, dan mungkin fungsi tersebut tidak kontinu pada
batasnya.
Akibat 3 Misalkan himpunan buka terhubung sederhana dan terbatas di 2.
Misalkan u fungsi panharmonik tak positif pada , dan misalkan ada konstnta M < 0
sehingga
u b M k
k
liminf ( )
untuk setiap barisan (bk) di yang konvergen ke suatu titik di batas . Maka u > M
pada .
Bukti Misalkan M’ = inf {u(x):x }, dan pilih barisan (bk) di sehingga u(bk)
konvergen ke M’. Dari sini, ada dua kasus yang perlu diperhatikan. Pertama, jika (bk)
memiliki subbarisan yang konvergen ke suatu titik b di dalam , maka u(b) = M’.
Dengan prinsip minimum fungsi panharmonik tak positif, maka u = M’ pada . Untuk
kasus kedua, jika tidak ada subbarisan dari (bk) yang konvergen kesuatu titik di dalam
maka (bk) memiliki subbarisan (ak) yang konvergen ke suatu titik pada batas , sebut
saja titik tersebut a, maka u(a) = M’. Ini mengakibatkan u M’. Dengan demikian , dari
kedua kasus ini, kita peroleh u > M pada .
Selanjutnya akan kita lihat nilai fungsi panharmonik di suatu titik dalam, pada
suatu daerah kompak melalui penyajian integral fungsi panharmonik pada suatu cakram.
Hasil ini diperoleh sebagai implikasi dari prinsip maksimum dan minimum fungsi
panharmonikdi atas. Untuk itu terlebih dulu perhatikan penyajian integral berikut, dan
untuk bukti dapat dilihat pada [2] hal. 111.
Teorema 4 Misalkan u fungsi panharmonik pada cakram (x-x0)2+(y-y0)2 a2, maka
( cos , sin ) .
2 ( )
1
( , )
2
0
0 0
0
0 0 u x a y a d
a
u x y (6)
6
Berikut ini salah satu hasil yang telah dikemukakan Duffin dalam [2], dan pada tulisan ini
akan dibuktikan kembali dengan menggunakan prinsip maksimum fungsi panharmonik
positif yang telah dikemukakan di atas.
Akibat 7 Misalkan u fungsi panharmonik tak negatif pada daerah kompak . Jika
u M pada batas untuk suatu konstanta M > 0, dan x suatu titik interior , maka
,
( )
( )
0 a
M
u x
dimana a adalah jarak terdekat dari x terhadap batas .
Bukti Misalkan x =(x0,y0) sembarang titik interior . Kemudian buat cakram
(x-x0)2+(y-y0)2 a2, dimana a adalah jarak terdekat dari x terhadap batas . Maka kita
punya (6). Karena 0 u M pada batas , maka ini juga berlaku pada cakram cakram
(x-x0)2+(y-y0)2 a2 di dalam , karena itu (6) akan menjadi
.
( )
( )
0 a
M
u x
Selanjutnya sebagai implikasi dari prinsip minimum fungsi panharmonik, kita turunkan
sifat fungsi panharmonik seperti pada Akibat 7 untuk fungsi panharmonik tak positif.
Akibat 8 Misalkan u fungsi panharmonik tak positif pada daerah kompak . Jika u M
pada batas untuk suatu konstanta M < 0, dan x suatu titik interior , maka
,
( )
( )
0 a
M
u x
dimana a adalah jarak terdekat dari x terhadap batas .
Bukti Misalkan x =(x0,y0) sembarang titik interior . Kemudian buat cakram (xx0)
2+(y-y0)2 a2, dimana a adalah jarak terdekat dari x terhadap batas . Maka dari
sini kita punya (6). Karena M u 0 pada batas , maka ini juga berlaku pada
cakram (x-x0)2+(y-y0)2 a2 di dalam , karena itu (6) akan menjadi
.
( )
( )
0 a
M
u x
Untuk lebih memperjelas prinsip maksimum dan minimum di atas, dapat dilihat contoh
berikut.
Contoh 1 Misalkan u(x,y)=cosh x pada cakram D(0,R). Jelas u panharmonik. Nilai
maksimum u akan dicapai dibatas cakram yaitu di titik (-R,0) dan (R,0). Sedangkan nilai
minimum dicapai di sepanjang garis x=0 pada cakram D(0,R).
7
Contoh 2 Misalkan u(x,y)=sinh x pada cakram D(0,R). Jelas u fungsi panharmonik,
dengan nilai maksimum dan minimum dicapai dibatas cakram D(0,R) yaitu di titik (R,0)
dan (-R,0).
2.3 Fungsi Panharmonik Bernilai Kompleks
Fungsi panharmonik yang telah dibahas di atas adalah fungsi panharmonik bernilai real.
Berikut ini akan dibahas mengenai fungsi panharmonik bernilai kompleks. Seperti
definisi pada fungsi panharmonik bernilai real, maka untuk fungsi panharmonik bernilai
kompleks f didefinisikan sebagai fungsi kontinu yang memenuhi persamaan (1).
Teorema 5 Misalkan f(z)=u(x,y)+iv(x,y) fungsi bernilai kompleks di C2( ). Fungsi f
panharmonik jika dan hanya jika u dan v panharmonik.
Bukti Misalkan f(z)=u(x,y)+iv(x,y) panharmonik pada , maka fxx + fyy=uxx + ivxx + uyy
+ ivyy=(uxx + uyy)+ivxx+ ivyy= 2(u+iv)= 2f. Jadi uxx + uyy= 2u dan vxx+ vyy= 2v.
Akibat 9 Misalkan f fungsi panharmonik bernilai kompleks dan c suatu konstanta
kompleks. Maka cf juga fungsi panharmonik.
Teorema 6 Jika u fungsi panharmonik bernilai kompleks pada , dan kontinu pada
maka u mencapai nilai maksimum di pada batasnya.
Bukti Andaikan u mencapai nilai maksimum di suatu titik a di dalam , sebut saja
u(a) M. Selanjutnya pilih bilangan kompleks b sehingga b 1 dan bu(a) = M. Maka
fungsi panharmonik bernilai real Re(bu) akan mencapai nilai maksimum M di suatu titik
a di dalam . Ini bertentangan dengan prinsip maksimum fungsi panharmonik. Jadi
haruslah u mencapai nilai maksimum pada batas .
Contoh 3 Misalkan u(x,y) = e x + i e- x pada cakram D(0,R). Maka
2cosh2 . 2 2 u e e x x x Dari sini bisa dihitung bahwa nilai maksimum u akan
dicapai di batas cakram, yaitu (-R,0) dan (R,0), dan nilai minimum u akan dicapai
disepanjang garis x=0 pada cakram D(0,R).
8
Melihat kenyataan contoh 3 di atas, maka nilai minimum u secara umum tidak terjadi di
batas. Secara keseluruhan prinsip maksimum dan minimum fungsi panharmonik berbeda
dengan prinsip maksimum dan minimum fungsi harmonik.
Daftar Pustaka
[1] E. Cahya, Panharmonics Functions (dalam persiapan publikasi).
[2] R.J. Duffin, Yukawa Potential Theory, J. Math. Anal. Appl. 35(1971).104-130.
[3] W. Setyabudhi, Fungsi Panharmonik di Cakram, MIHMI 6(2000). 119-124.
[4] S. Axler, P. Bourdon, W. Ramey, Harmonic Function Theory, Springer Verlag, New
York, 1992.